Matematică
scarlatmihai4
2

Fie paralelogramul ABCD cu AB=12 cm . Pe semidreapta opusa semidreptei CD se ia punctul M,astfel incat MD=4 supra 3 CD si se noteaza cu N intersectiadreptelor BC si AM. Demonstrati ca ABCD este romb daca si numai daca BN=9 cm . Am nevoie

+0
(1) Răspunsuri
catalina060

Relatia din ipoteza se mai scrie: [latex] \frac{MD}{CD} = \frac{4}{3} [/latex], de unde: [latex] \frac{MD-CD}{CD} = \frac{4-3}{3} [/latex], adica: [latex] \frac{MC}{CD} = \frac{1}{3} [/latex] [latex] \frac{MC}{12} = \frac{1}{3} [/latex], deci: MC=4 cm MD=MC+CD=4+12=16 cm Din CN || AD rezulta triunghiurile asemenea: ΔMCN≈ΔMDA, deci: [latex] \frac{MC}{MD} = \frac{CN}{AD} [/latex] [latex] \frac{4}{16} = \frac{CN}{AD} [/latex], dar AD≡BC, deci: [latex] \frac{CN}{BC} = \frac{1}{4} [/latex], de unde: [latex] \frac{CN}{BC-CN} = \frac{1}{4-1} [/latex] [latex] \frac{CN}{BN} = \frac{1}{3} [/latex] "=>" Daca ABCD este romb, inseamna ca AB=BC=12 cm, deci: [latex] \frac{CN}{12} = \frac{1}{4} [/latex] CN=3 cm, iar BN=BC-CN=12-3=9 cm "<=" Daca BN=9 cm, din CM || AB rezulta triunghiurile asemenea ΔNCM≈ΔNBA, deci: [latex] \frac{CN}{BN} = \frac{MC}{AB} [/latex] [latex] \frac{CN}{9} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} [/latex], deci CN=3 cm, iar BC=BN+CN=9+3=12 cm, deci AB=BC, adica paralelogramul ABCD, avand doua laturi consecutive congruente, este romb. c.c.t.d.

Adaugă răspuns