Matemática
vivitaradagp
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x+2y-z=2 2x-y+z=3 x+y+z=6 Qual o resultado dessa equação linear?

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(1) Respostas
palmeiras941

Resolverei de duas formas: 1º) Resolvendo o sistema [latex]\begin{cases} x+2y-z=2 \\ 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6 \end{cases}[/latex] Eliminando a incógnita x da terceira equação. Multiplicamos toda a terceira equação por -2 e somamos membro a membro com a segunda equação: [latex]\begin{cases} 2x-y+z=3 \\ -2x-2y-2z=-12 \end{cases}\\ \\ \\ 2x-2x-y-2y+z-2z=3-12\\ \\ -3y-z=-9 [/latex] Eliminando a incógnita x da segunda equação. Multiplicamos toda a primeira equação por -2 e somamos membro a membro com a segunda equação: [latex]\begin{cases} -2x-4y+2z=-4 \\ 2x-y+z=3 \end{cases}\\ \\ \\ -2x+2x-4y-y+2z+z=-4+3\\ \\ -5y+3z=-1[/latex] Agora o sistema fica assim: [latex]\begin{cases} x+2y-z=2 \\ -5y+3z=-1 \\ -3y-z=-9 \end{cases}\\ \\ \\[/latex] Vamos agora eliminar a incógnita z no novo sistema e obteremos o valor de y.  Multiplicamos a terceira equação por 3 e somamos membro a membro com a segunda equação: [latex]\begin{cases} -5y+3z=-1 \\ -9y-3z=-27 \end{cases}\\ \\ \\ -5y-9y+3z-3z=-1-27\\ \\ -14y=-28\\ \\ y=\dfrac{-28}{-14}=2[/latex] Agora que temos o valor de y, vamos substituí-lo na terceira equação e encontrar o valor de z: [latex]-3\cdot 2-z=-9\\ -6-z=-9\\ -z=-9+6\\ -z=-3\\ z=3[/latex] Já temos os valores de y e z. Agora vamos substituí-los na terceira equação do sistema original e obteremos o valor de x: [latex]x+y+z=6\\ x+3+2=6\\ x+5=6\\ x=6-5\\ x=1[/latex] Portanto, os valores das incógnitas são: x = 1; y = 2 e z = 3. 2º) Resolvendo com Matriz pelo método de Cramer: Calculando o Determinante do Sistema pela Regra de Sarrus: [latex]\begin{cases} x+2y-z=2 \\ 2x-y+z=3 \\ x+y+z=6 \end{cases}[/latex] [latex]D_{S}=\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & -1\\ 1 & 1 \end{array}[/latex] Multiplicando a Diagonal Principal: [latex]1\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ \left(-1\cdot 2\cdot 1\right)=-1+2-2=-1[/latex] Multiplicando da Diagonal Secundária: [latex]\left(-1)\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 1\cdot 1\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=1+1+4=6[/latex] [latex]D_{S}=-1-6=-7[/latex] Agora substitui a primeira coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante: [latex]D_{x}=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1\\ 3 & -1 & 1\\ 6 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 3 & -1\\ 6 & 1 \end{array}[/latex] Multiplicando a Diagonal Principal: [latex]2\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 6\ +\ \left(-1\right)\cdot 3\cdot 1=-2+12-3=7[/latex] Multiplicando da Diagonal Secundária: [latex]\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot 6\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ 2\cdot 3\cdot 1=6+2+6=14[/latex] [latex]D_{x}=7-14=-7[/latex] Agora substitui a segunda coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante: [latex]D_{y}=\begin{vmatrix}1 & 2 & -1\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & 6 & 1 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3\\ 1 & 6 \end{array}[/latex] Multiplicando a Diagonal Principal: [latex]1\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 1\cdot 1\ +\ \left(-1\right)\cdot 2\cdot 6=3+2-12=-7[/latex] Multiplicando a Diagonal Secundária: [latex]\left(-1\right)\cdot 3\cdot 1\ +\ 1\cdot 1\cdot 6\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=-3+6+4=7[/latex] [latex]D_{y}=-7-7=-14[/latex] Agora substitui a terceira coluna pelos valores localizados depois das igualdades (termos independentes) e calcular o determinante: [latex]D_{z}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\ 2 & -1 & 3\\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix}\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & -1\\ 1 & 1 \end{array}[/latex] Multiplicando a Diagonal Principal: [latex]1\cdot \left(-1\right)\cdot 6\ +\ 2\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 1=-6+6+4=4[/latex] Multiplicando a Diagonal Secundária: [latex]2\cdot \left(-1\right)\cdot 1\ +\ 1\cdot 3\cdot 1\ +\ 2\cdot 2\cdot 6=-2+3+24=25[/latex] [latex]D_{z}=4-25=-21[/latex] Agora aplicando a regra de Cramer para achar os valores das incógnitas: [latex]x=\dfrac{D_{x}}{D_{S}}=\dfrac{-7}{-7}=1\\ \\ \\ y=\dfrac{D_{y}}{D_{S}}=\dfrac{-14}{-7}=2\\ \\ \\ z=\dfrac{D_{z}}{D_{S}}=\dfrac{-21}{-7}=3\\ \\ \\[/latex] Encontramos os mesmos valores: x = 1; y = 2 e z = 3.

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