Matemática
anenina3214
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Identidades Trigonométricas: a) tg x . sen 2 x = 2 sen² x b) tg x . cotg x = tg x . cossec² x c) 1 + tgx . tg 2x =  sec 2x

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(1) Respostas
fabiio

a) [latex]\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{sen\,}2x=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x[/latex]   [latex]\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot (2\mathrm{\,sen\,}x\cos x)=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \\ \dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\cos x}{\cos x}=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x[/latex] Sabendo que [latex]\cos x \neq 0,[/latex] simplificamos o [latex]\cos x[/latex] no numerador e no denominador, e chegamos a [latex]2\,\mathrm{sen^{2}\,}x=2\,\mathrm{sen^{2}\,}x[/latex] A identidade acima é válida. b) [latex]\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cotg\,}x=\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x[/latex] [latex]1=\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x\\ \\ 1=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^{2}\,}x}\\ \\ \\ 1=\dfrac{1}{\mathrm{sen\,}x\cdot \cos x}\\ \\ \\ \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x=1[/latex] Multiplicando os dois lados por [latex]2,[/latex] chegamos a [latex]2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x=2\\ \\ \mathrm{sen\,}2x=2\;\;\;\;(\text{absurdo})[/latex] A igualdade acima é um absurdo no conjunto dos números reais, pois não existe arco real cujo seno é [latex]2.[/latex] Logo, a identidade é inválida, e ainda mais, ela é absurda. c) [latex]1+\mathrm{tg\,}x\cdot \mathrm{tg\,}2x=\sec 2x[/latex] [latex]1+\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{\mathrm{sen\,}2x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ 1+\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\cdot \dfrac{2\,\mathrm{sen\,}x\cos x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ 1+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x\cos x}{\cos x\cdot \cos 2x}=\sec 2x[/latex] Como temos que [latex]\cos x \neq 0,[/latex] podemos simplificar o fator [latex]\cos x[/latex] no numerador e no denominador, chegando a [latex]1+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x[/latex] Reduzindo os termos do lado esquerdo ao mesmo denominador, [latex]\dfrac{\cos 2x}{\cos 2x}+\dfrac{2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{\cos 2x+2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{(\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2\,}}x)+2\,\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2\,}}x}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \dfrac{1}{\cos 2x}=\sec 2x\\ \\ \\ \sec 2x=\sec 2x[/latex] A identidade acima é válida.

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