Matemática
anenina3214
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Equações Trigonométricas: a) 2 cos x - raiz de 3 = 0 b) cos x = -1/2 c) cos x = -1 d) cos x = - raiz de 3/2 Identidades trigonométricas: a) (1 - tg² x) (1 - sen² x) = 1 b) 1 + tg² x = tg²x . cossec² x c) sen 2x . cotg x = cos 2x + 1

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(2) Respostas
albilenesantos

a) 2 cos x - √3 = 0  2 cos x = √3  cos x = √3 / 2 x = 30º  b) cos x = -1/2 x = 120º  c) cos x = -1  x = 180º  d) cos x = -√3/2 x = 150º

fabiio

Questão 1) Resolver as equações trigonométricas: a) [latex]2\cos x-\sqrt{3}=0[/latex]   [latex]2\cos x=\sqrt{3}\\ \\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \cos x =\cos (\frac{\pi}{6})\\ \\ x=\pm \frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi \end{array}}[/latex] sendo [latex]k[/latex] um número inteiro. b) [latex]\cos x=-\frac{1}{2}[/latex] [latex]\cos x=\cos(\frac{2\pi}{3})\\ \\ x=\pm \frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{2\pi}{3}+k\cdot 2\pi \end{array}}[/latex] sendo [latex]k[/latex] um número inteiro. c) [latex]\cos x=-1[/latex]   [latex]\cos x=\cos(\pi)\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x=\pi+k\cdot 2\pi \end{array}}[/latex] sendo [latex]k[/latex] um número inteiro. d) [latex]\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex] [latex]\cos x=\cos(\frac{5\pi}{6})\\ \\ x=\pm \frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi\\ \\ \boxed{\begin{array}{rcl} x=\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi&\;\text{ ou }\;&x=-\frac{5\pi}{6}+k\cdot 2\pi \end{array}}[/latex] sendo [latex]k[/latex] um número inteiro. Questão 2) Verificar as identidades trigonométricas (se são válidas ou não): a) [latex](1-\mathrm{tg^{2}\,}x)\,(1-\mathrm{sen^{2\,}}x)=1[/latex] [latex](1-\mathrm{tg^{2}\,}x)\,\cos^{2}x=1\\ \\ \left(1-\dfrac{\mathrm{sen^{2}\,}x}{\cos^{2}x} \right )\cdot \cos^{2}x=1[/latex] Aplicando a distributiva, chegamos a [latex]\cos^{2}x-\mathrm{sen}^{2}x=1\\ \\ \cos 2x=1[/latex] A igualdade acima não e válida para todo [latex]x[/latex] real. Logo, a identidade não é válida. b) [latex](1+\mathrm{tg^{2}\,}x)=\mathrm{tg^{2}\,}x\cdot \mathrm{cossec^{2}\,}x[/latex] [latex]\left(1+\dfrac{\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}\right )=\dfrac{\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}\cdot \dfrac{1}{\mathrm{sen^{2}\,}x}\\ \\ \\ \dfrac{\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}}\,x}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{\cos^{2}x}\\ \\ \\ \sec^{2}x=\sec^{2}x[/latex] A identidade acima é válida. c) [latex]\mathrm{sen\,}2x\cdot \mathrm{cotg\,}x=\cos 2x+1[/latex] [latex](2\,\mathrm{sen\,}x\cos x)\cdot \mathrm{cotg\,}x=(\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x)+1\\ \\ (2\,\mathrm{sen\,}x\cos x)\cdot \dfrac{\cos x}{\mathrm{sen\,}x}=\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+1\\ \\ \\ 2\cos^{2}x=\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+(\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x)\\ \\ 2\cos^{2}x=\cos^{2}x+\cos^{2}x-\mathrm{sen^{2}\,}x+\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ 2\cos^{2}x=2\cos^{2}x[/latex] A identidade acima também é válida.

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