Matemática
Adda
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Complexos (De Moivre) / Período Trigonométrico Unicamp (...) a) Calcular (√3 + i)¹². b) Sendo z = (√2 * (1 + i)) / 2, calcular o valor de : 1 + z + z² + z³ + ... + z¹⁵.

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(2) Respostas
danielxb540

Boa noite, João. Propriedade: [latex]z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|cis(\theta_1+\theta_2)[/latex] Usaremos a fórmula de De Moivre. A rigor: [latex]z^n = |z|^n[\cos n\theta+i\sin n\theta][/latex] Mas por ser cansativo e desnecessário, vamos escrever aquela soma apenas com as letras iniciais: [latex]z^n=|z|^ncis(n\theta)[/latex] Então esse item a) possui uma solução trivial, bastando calcular o argumento.  [latex]\theta = arctg[Im(z)/Re(z)]\\ \\ \theta = arctg(1/\sqrt3)\\ \\ \theta \in 1^\circ Q\\ \\ \theta = \pi/6[/latex] [latex]z^{12} = |z|^{12} cis(12\pi/6)\\ \\ z^{12} = \left[\sqrt{\sqrt3^2+1^2}\ \right ]^{12} [cos(2\pi) + isen(2\pi)]\\ \\ z^{12} = 2^{12}(1 + 0)\\ \\ \boxed{z^{12} = 2^{12} = 4096}[/latex] ========== b) Agora precisamos observar com cuidado essa questão. Não é conveniente calcular separadamente cada uma dessas potências. Vamos fazer alguns casos, calculando o módulo antos: [latex]|z| = \sqrt{(\frac{\sqrt2}{2})^2 + (\frac{\sqrt2}{2})^2}\\ \\ |z| = 1\\ \\ \theta = arctg(1) = \pi/4[/latex] [latex]z_1 = cis(\pi/4)\\ z_2 = cis(2\pi/4)\\ z_3 = cis(3\pi/4)\\ \vdots\\ z^{15} = cis(15\pi/4)[/latex] Nessa parte poderíamos olhar a periodicidade dos complexos, mas vou preferir ter outra sacada: note que os argumentos vão se somando em PA, e do produto de complexos, vemos que multiplicamos o módulo e somamos os argumentos. Quando temos vários produtos por um mesmo fator, temos uma PG, e nos casos de potências de complexos, a razão é dada por: [latex]q=|z|cis(\theta)[/latex]  Note que isso é válido em nossa sequência, e que 1 = z⁰.           Temos uma soma dos termos de PG Então aplicamos a soma de 1 até [latex]z^{15}[/latex] , onde [latex]a_1 = 1[/latex] e [latex]a_{16} = z^{15}[/latex], onde q = cis(45º) [latex]S_n = \dfrac{a_1( q^n-1)}{q-1}[/latex] [latex]S_{16} = \dfrac{1[cis(\pi/4)^{16}-1]}{cis(\pi/4)-1}\\ \\ \\ S_{16} = \dfrac{cis(4\pi)-1}{\frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}-1}\\ \\ \\ S_{16} = \dfrac{1-1}{\frac{\sqrt2}{2} + i\frac{\sqrt2}{2}-1}\\ \\ \\ \boxed{S_{16} = 0}[/latex]

juliacastros

a) [latex](\sqrt{3}+1)^{12}[/latex] Para a resolução da questão, utilizarei a fórmula: [latex](a+bi)^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))[/latex] Assim: [latex](\sqrt{3}+i)^{12}=|z|^{12}*(cos(12x)+i*sin(12x))[/latex] [latex]x=arctan(\frac{b}{a})[/latex] [latex]x=arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})[/latex] [latex]x=arctan(\frac{\sqrt{3}}{3})[/latex] [latex]x=30^o[/latex] [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{3+1}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{4}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{2}[/latex] [latex](\sqrt{3}+i)^{12}=2^{12}*(cos(12*30^o)+i*sin(12*30^o))[/latex] [latex](\sqrt{3}+i)^{12}=4096*(cos(360^o)+i*sin(360^o))[/latex] [latex](\sqrt{3}+i)^{12}=4096*(1+i*0)[/latex] [latex]\boxed{(\sqrt{3}+i)^{12}=4096} [/latex] b)  [latex]z=\frac{\sqrt{2}*(1+i)}{2}[/latex] [latex]z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2}[/latex] [latex](a+bi)^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))[/latex] [latex](\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=|z|^n*(cos(n*x)+i*sin(n*x))[/latex] [latex]x=arctan(\frac{b}{a})[/latex] [latex]x=arctan(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}})[/latex] [latex]x=arctan(1)[/latex] [latex]x=45^o[/latex] [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{2}{4}}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{\frac{4}{4}}[/latex] [latex]|z|=\sqrt{1}[/latex] [latex]|z|=1[/latex] [latex](\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=1^n*(cos(n*45^o)+i*sin(n*45^o))[/latex] [latex](\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{2})^n=cis(n*45^o)[/latex] [latex]\sum^{15}_{n=0} {z^n}=\sum^{15}_{n=0} {cis(n*45^o)}[/latex] Chegamos, após muitos cálculos que a soma requerida é igual a soma de todos os senos e cossenos dos ângulos 0º, 45º 90º ... 15*45º=675º Se analisarmos bem, todos esses ângulos cortam uns aos outros, pois eles formam exatamente 2 voltas completas no círculo trigonométrico, pois são 16 ângulos separados por 45º e em apenas uma volta, há 8 desses:(0º,45º,90º,135º,180º,225º,270º,315º) Por exemplo: o cosseno de 0º corta com de 180º, o seno de 45º corta com o seno de 45º+180º=225º.... E assim ocorre com todos os ângulos do somatório. Portanto: [latex]\boxed{\sum^{15}_{n=0} {z^n}= 0}[/latex] Bons estudos!

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