Matemática
rickrochamed
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As retas de equações y=2x+3, y=-x+4 e Y=1/2x+1 interceptam - se duas a duas, determinando um triangulo. Calcule a área desse triangulo.

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(1) Respostas
coutotga

Vamos lá. Veja, Dani, que a resolução é simples. Tem-se que as seguintes retas encontram-se, duas a duas,formando os vértices de um triângulo. Pede-se a área desse triângulo. As retas são estas: f(x) = 2x + 3         . (I) g(x) = - x + 4       .(II) h(x) = -x/2 + 1    .(III) Como elas se encontram duas a duas, então vamos igualar f(x) a g(x), depois f(x) a h(x) e, por último g(x) a h(x). Assim, teremos: i) igualando f(x) a g(x). Assim teremos: 2x + 3 = - x + 4 ---- passando "-x" para o 1º membro e "3" para o 2º, temos: 2x+x = 4 - 3 3x = 1 x = 1/3 <--- Este será o valor da abscissa (x) no encontro de f(x) com g(x). Agora, para encontrar a ordenada (y), vamos substituir, em quaisquer uma delas, o "x' por "1/3". Vamos em f(x), que é esta: f(x) = 2x + 3 ---- substituindo-se "x' por "1/3", teremos: f(1/3) = 2*1/3 + 3 f(1/3) = 2/3 + 3 ---- mmc = 3. Assim: f(1/3) = (1*2 + 3*3)/3 f(1/3) = (2+9)/3 f(1/3) = 11/3 <-- Ete é o valor da ordenada "y" no ponto de encontro de f(x) com g(x). Assim, já temos que o ponto de vértice, no encontro de f(x) com g(x) será o ponto: A(1/3; 11/3) ii) Igualando f(x) a h(x). Assim teremos: 2x + 3 = x/2 + 1 --- mmc, no 2º membro = 2. Assim: 2x + 3 = (1*x + 2*1)/2 2x + 3 = (x+2)/2 --- multiplicando-se em cruz, teremos; 2*(2x+3) = x+2 4x+6 = x+2 --- passando-se "x" para o 1º membro e "6' para o 2º, temos: 4x - x = 2 - 6 3x = - 4 x = - 4/3 <--- Este é o valor da abscissa "x" no ponto de encontro de f(x) com h(x). Agora, para encontrar o ponto de ordenada "y" vamos substituir "x' por "-4/3" em uma das expressões. Vamos na expressão f(x), que é esta: f(x) = 2x + 3 ---- substituindo-se "x" por "-4/3", teremos; f(-4/3) = 2*(-4/3) + 3 f(-4/3) = -8/3 + 3 ---- mmc = 3. Assim: f(-4/3) = (1*(-8)+3*3)/3 f(-4/3) = (-8+9)/3 f(-4/3) = 1/3 <-- Este é o ponto de ordenada "y" no ponto de encontro de f(x) com h(x). Assim, o ponto de vértice será o ponto B que tem as seguintes coordenadas: B(4/3; 1/3) iii) Finalmente, vamos igualar g(x) a h(x). Assim teremos: -x + 4 = x/2 + 1 ---- mmc = 2. Assim: -x + 4 = (1*x + 2*1)/2 -x + 4 = (x+2)/2 ---- multiplicando-se em cruz, temos: 2*(-x+4) = x + 2 -2x + 8 = x + 2 --- passando-se "x" para o 1º membro e "8" para o 2º, temos: -2x - x = 2 - 8 - 3x = - 6 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos: 3x = 6 x = 6/3 x = 2 <--- Este é a abscissa "x' no ponto de encontro de g(x) com h(x). Agora, para saber qual é a ordenada "y", vamos substituir "x" por "2" em quaisquer uma das expressões. Vamos em g(x), que é esta: g(x) = - x + 4 ---- substituindo-se "x" por "2", teremos: g(2) = - 2 + 4 g(2) = 2 <--- Esta é a ordenada (y) no ponto de encontro de g(x) com h(x). Assim, o ponto de vértice será o ponto C, que terá as seguintes coordenadas: C(2; 2) . iv) Agora veja: para encontrar a área de um triângulo a partir de seus vértices, multiplicaremos "1/2" pelo módulo do determinante da matriz formada a partir de cada vértice. Assim, teremos (já deixando a matriz no ponto de desenvolver pela regra de Sarrus):   .................||1/3....11/3....1|1/3....11/3|| d = (1/2) * ||-4/3...1/3....1|-4/3.....1/3|| --- desenvolvendo, teremos: .................||2.........2....1|2............2|| d = (1/2)*|(1/3)*1/3)*1+(11/3)*1*2+1*(-4/3)*2 - [2*1/3)*1+2*1*1/3+1*(-4/3)*11/3)]| d = (1/2)*|1/9 + 22/3 - 8/3 - [2/3 + 2/3 - 44/3]| d = (1/2)*|1/9 + 14/3 - [4/3 - 44/3]| d = (1/2)*|(1*1+3*14)/9 - [- 40/3]| d = (1/2)*|(1+42)/9 - [-40/3]| d = (1/2)*|43/9 - [-40/3]| --- retirando-se os colchetes, teremos; d = (1/2)*|43/9 + 40/3| ---- mmc = 9. Assim: d = (1/2)*|(1*43+3*40)/9| d = (1/2)*|(43+120)/9| d = (1/2)*|163/9| ---- como |163/9| = 163/9, teremos: d = (1/2)*(163/9) --- efetuando este produto, teremos: d = 1*163/2*9 d = 163/18  u.a <--- Esta é a resposta (observação: u.a. = unidades de área). Se você quiser dividir "163" por "18" encontrará uma dízima igual a "9,0555....". Logo: d = 9,0555.... u.a. <--- A resposta também poderia ser dada desta forma, mas apenas se você quiser. É isso aí. Deu pra entender bem? OK? Adjemir.

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