Matematyka
KarolinaGrabowska90
177

W trapezie prostokątnym o polu 90 cm2 i kącie ostrym 45 stopni dłuższa przekątna tworzy z podstawami kąt alfa taki, ze tg alfa=1/3. Oblicz obwód tego trapezu.

+17
(1) Odpowiedź
Kasienka190

Narysuj trapez prostokątny ABCD o kątach prostych w wierzchołkach A i D. AB to dłuższa podstawa, CD to krótsza podstawa. Poprowadź przekątną BD. Oznacz: [latex]|AB|=a\\|CD|=b\\|AD|=h\\|BC|=c\\|\angle ABD|=\alpha\\|\angle ABC|=45^0[/latex] W trójkącie prostokątnym ABD: [latex]tg\alpha=\frac{h}{a}=\frac{1}{3}\\h=\frac{1}{3}a[/latex] Poprowadź wysokość CE trapezu  wierzchołka C na podstawę AB. W trójkącie prostokątnym BCE: [latex]|BE|=a-b\\|CE|=h\\h=a-b\\\frac{1}{3}a=a-b\\b=\frac{2}{3}a[/latex] [latex]c=h\sqrt{2}=\frac{1}{3}a\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}a[/latex] Z pola trapezu: [latex]P=\frac{a+b}{2}\cdot h\\\frac{a+\frac{2}{3}a}{2}\cdot\frac{1}{3}a=90\\\frac{5}{3}a\cdot\frac{1}{3}a=180\\\frac{5}{9}a^2=180\\a^2=324\\a=18cm\\b=\frac{2}{3}\cdot18=12cm\\h=\frac{1}{3}\cdot18=6cm\\c=\frac{\sqrt{2}}{3}\cdot18cm=6\sqrt{2}cm[/latex] Obwód trapezu: [latex]L=a+b+h+c\\L=(18+12+6+6\sqrt{2})cm=(36+6\sqrt{2})cm=6(6+\sqrt{2})cm[/latex]

Dodaj swoją odpowiedź