Matemáticas
piero9724
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EL TRIANGULO CUYOS VERTICES SON A(-1,0) B(2,9/4) Y C(5,0). HALLAR LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA AL TRIANGULO

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ing1civ

1) Ecuación de la recta de los lados del triángulo:  ecuacion de la recta que pasa por A(-1 , 0) y B(2 , 9)  vector AB = B - A = (2 , 9) - (-1 , 0) = (3 , 9)  r: (x + 1) /3 = y / 9  r: 9 (x + 1) = 3y ; r: 9x + 9 = 3y ; r: 9x - 3y + 9 = 0 ; r: 3x - y + 3 = 0  Ecuación de la recta que pasa por A(-1 , 0) y C(14 , 5)  vecto AC = C - A = (14 , 5) - (-1 , 0) = (15 , 5)  s: (x + 1) / 15 = y / 5  s: 5 (x + 1) = 15y ; s: 5x + 5 = 15y ; s: 5x - 15y + 5 = 0 ; s: x - 3y + 1 = 0  Ecuación de la recta que pasa por B(2 , 9) y C(14 , 5)  vector BC = C - B = (14 , 5) - (2 , 9) = (12 , -4)  t: (x - 2) / 12 = (y - 9) / -4  t: -4 (x - 2) = 12 ( y - 9) ; t: -4x + 8 = 12y - 108 ; t: -4x - 12y +8 + 108 = 0 ; t: -4x - 12y + 116 = 0 ; t: -x - 3y + 29 = 0  2) Calculamos dos bisectrices:  d (P , r) = d (P , s) , es decir la distancia de un punto P(x , y) de la bisectriz a la recta r y s tiene que valer lo mismo.  |3x - y + 3| / √3^2 + (-1)^2 = |x - 3y + 1| / √1^2 + (-3)^2  3x - y + 3 / √10 = x - 3y + 1 / √10  3x - y + 3 = x - 3y + 1 ; 3x - x - y + 3y + 3 - 1 = 0 ; 2x + 2y + 2 = 0 ; x + y + 1 = 0 (Ecuación de la primera bisectriz)  d (P , r) = d (P , t) , es decir la distancia de un punto P(x , y) de la bisectriz a la recta r y t tiene que valer lo mismo.  |3x - y + 3| / √3^2 + (-1)^2 = |-x - 3y + 29| / √(-1)^2 + (-3)^2  3x - y + 3 / √10 = -x - 3y + 29 / √10  3x - y + 3 = -x - 3y + 29 ; 3x + x -y + 3y + 3 - 29 = 0 ; 4x + 2y - 26 = 0 ; 2x + y - 13 = 0 (Ecuación de la segunda bisectriz)  3) Calculamos el Incentro: resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las bisectrices. x + y = - 1  2x + y = 13  Por sustitución que consiste en despejar una de las incognitas en una de la ecuación y la sustituimos en la otra ecuación para determinar el valor de una incognita.  x = - 1 - y  2 (- 1 - y) + y = 13 ; - 2 - 2y + y = 13 ; - y = 13 + 2 ; - y = 15 ; y = - 15  x = - 1 - (- 15) = - 1 + 15 = 14  Incentro: I(14 , - 15) , es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo  4) Calculamos el radio de la circunferencia como la distancia del Incentro a cualquiera de las rectas de los lados del triángulo.  r = d ( I , r ) = |3 * 14 - 15 + 3| / √3^2 + (-1)^2 = |42 - 15 + 3| / √10 = 30/√10  r^2 = (30/√10)^2 = 30^2 / (√10)^2 = 900 / 10 = 90  5) Ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo  (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2  (x - 14)^2 + (y + 15)^2 = 90

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